Numeryczne metody kształtowania kopuł geodezyjnych za pomocą języka programowania FORMIAN

Abstract

Kopuły geodezyjne dzięki swym korzystnym własnościom konstrukcyjnym i technologicznym stanowią bardzo efektowną i najbardziej efektywną formę systemu konstrukcyjnego dla przekryć kopu-łowych. Ich walory konstrukcyjne wpływają na szerokie zastosowanie w architekturze i budownictwie. W celu odpowiedniego przedstawienia modelowego kopuł geodezyjnych stosuje się m. in. język progra-mowania Formian, który umożliwia matematyczne zdefiniowanie ich kształtów. Język programowania opracowany został w Space Structures Research Center na Wydziale Budownictwa University of Surrey w Guildford pod Londynem, w Wielkiej Brytanii. Opiera się on na podstawach tzw. „Formex algebra”, będącego systemem matematycznym umożliwiającym parametryczne modelowanie cyfrowych modeli układów przestrzennych. Proces modelowania odnosi się w tym przypadku do tworzenia i przekształcania modeli numerycznych reprezentujących planowane konfiguracje elementów składowych. Modelowanie to obecnie najczęściej dotyczy kompozycji geometrycznych punktów, linii, odcinków i powierzchni. Model cyfrowy projektowanej kopuły geodezyjnej może być bardzo łatwo przekształcony w celu uzyskania najbardziej oczekiwanego kształtu projektowanej konstrukcji.
Autorzy: Iwona Fabrowicz, Agata Pilip, Paweł Tyrała

1. FORMIAN

1.1. HISTORIA POWSTANIA

W latach 60. formy oparte na skomplikowanych strukturach przestrzennych stały się szczególnie popularnym zjawiskiem architektonicznym. To z kolei zrodziło potrzebę opracowania narzędzia, dzięki któremu ich projektowanie stałoby się łatwiejsze i dokładniejsze.

W założonym w latach 60. przez profesora Zygmunta Stanisława Makowskiego Space Structures Research Center na Wydziale Budownictwa University of Surrey w Guildford pod Londynem, w Wielkiej Brytanii zostały zdefiniowane podstawowe założenia języka programowania Formian. Dokonał tego w latach 70. profesor Hoshyar Nooshin. Język ten opiera się na podstawach systemu matematycznego „Formex algebra". Do niewątpliwych zalet rozwiązania, jakim jest „Formian”, należy łatwość przekształcania modelu cyfrowego projektowanej struktury przestrzennej. Bez żmudnego i wymagającego ogromnej precyzji procesu kreślenia możemy poszukiwać najbardziej zadowalającego nas kształtu projektowanej konstrukcji.

Aby bezpośrednio zetknąć się z procesem projektowania i realizowania struktury przestrzennej, udało nam się z pomocą firm Javal s.a. z Częstochowy i Final s.a. z Dąbrowy Górniczej zbudować geodezyjną kopułę prętową o średnicy 5 metrów, wykonaną z aluminium. Wcześniej wygenerowaliśmy jej kształt właśnie za pomocą Formiana, co chcemy Państwu w tej chwili przedstawić, zapoznając Państwa tym samym z podstawowymi możliwościami języka, przydatnymi podczas numerycznego kształtowania kopuł geodezyjnych.

1.2 MODELOWANIE KOPUŁY

Za pomocą współrzędnych x i y w kartezjańskim układzie współrzędnych zostaje zdefiniowany podstawowy trójkąt równoramienny o boku równym 4 jednostkom. Trójkąt stanowi element składowy docelowej siatki trójkątnej, która zostaje zbudowana za pomocą funkcji genid. Funkcja genid powiela dany trójkąt zgodnie z kierunkami osi x i y po dwa razy w każdym z nich przesuwając dany trójkąt o 4 jednostki. W efekcie końcowym uzyskuje się piramidę złożoną z dwóch trójkątów równoramiennych w kierunku zgodnym z osią x oraz w kierunku zgodnym z osią y. Następnie w kroku 3 wykonuje się ekspozycję ( rzutowanie ) zdefiniowanej wcześniej siatki trójkątów na pięć górnych ścian dwudziestościanu foremnego za pomocą funkcji polymation.

1.2.1. FUNKCJA POLYMATION


W celu zdefiniowania funkcji polymation w języku programowania Formian stosuje się skrót pol. Poszczególne parametry odnoszą się do szczegółowych zdefiniowań odpowiedniego rzutowania.

Parametr 1: operation code - kod operacji .

Kod operacji znajduje się na pozycji pierwszej w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji polymation w nawiasie okrągłym i stosowany jest do wskazywania czy obiekt zdefiniowany uprzednio będzie rzutowany na ściany, krawędzie lub wierzchołki wybranego wielościanu foremnego. W Tabeli 1 wskazane są trzy znaczenia kodu operacji wraz z odpowiadającymi kodom liczbami całkowitymi. Kod operacji stanowi jedna wybrana spośród podanych w tabeli liczba całkowita.



Parametr 2: polyhedron code – kod wielościanu.

Kod wielościanu znajduje się na pozycji drugiej w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji polymation w nawiasie okrągłym. Wydzielony jest przecinkami. Wskazuje, który z wielościanów foremnych stanowi podstawę dla rzutowania. Kod wielościanu jest liczbą całkowitą, której odpowiada przypisany wielościan spośród brył platońskich i archimedesa . Kod stanowi jedna ze zdefiniowanych liczba całkowita. W Tabeli 2 przedstawiono przykładowe wielościany i odpowiadające im kody w postaci liczb całkowitych.



Parametr 3: entity list – lista obiektu.

Lista obiektu jest trzecim wyrażeniem w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji polymation w nawiasie okrągłym. Wyrażenie stosuje się do określenia numerów ścian, krawędzi lub wierzchołków wielościanu foremnego na których zostanie odwzorowane przekształcenie polymation. Listę definiuje się według podanego poniżej wzoru, w nawiasie kwadratowym wydzielonym apostrofami: ‘[3-6,9]’

W przedstawionym przypadku przekształcone zostaną ściany o numerach od 3 do 6 oraz 9. Wyrażenie należy definiować za pomocą liczb całkowitych, którym przypisane są odpowiednie ściany, krawędzie lub wierzchołki w liczbie nie przekraczającej odpowiadającej danemu wielościanowi . Na przykład: jeżeli zdefiniowany uprzednio obiekt ma być rzutowany na ściany wielościanu to liczby określające numery ścian muszą zawierać się w zbiorze od 1 do 20. Liczby mogą stanowić osobne wyrażenia lub ciągi znaków jak w przykładzie powyżej.

Zastosowanie liczby ujemnej spowoduje skasowanie jej z ciągu zdefiniowanego wcześniej: ’[1-8,-6]’ rzutowanie odbędzie się na ściany, krawędzie lub wierzchołki 1,2,3,4,5,7,8, z pominięciem 6.

Parametr 4: radius specifier – określenie promienia współśrodkowej sfery.

Czwarta pozycja w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji polymation w nawiasie okrągłym. definiuje parametr określający wielkość promienia współśrodkowej, z wybranym na pozycji drugiej wielościanu, sfery na którą rzutuję się zdefiniowane na wielościanie obiekty. Efekt rzutowania na sferę uzyskuje się za pomocą funkcji tractation, która omówiona zostanie w dalszej części referatu. Do wyrażenia promienia stosuje się liczbę dodatnią umieszczoną pomiędzy przecinkami.

Parametr 5: locator

Locator jest piątym o i ostatnim wyrażeniem w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji polymation w nawiasie okrągłym. Definiuje punkty bazowe (A – point, B – point, C – point), które skalują i wyznaczają położenie obiektu będącego przekształconym. Locator definiowany jest w nawiasach kwadratowych. Może przedstawiać się w wielu wariantach. Poszczególne punkty należy oddzielić od siebie średnikiem. Wymagane są minimum dwa punkty do określenia położenia przekształcanego obiektu:
[1,1;6,6], gdzie współrzędna z = 0. Punkty A i B leżą na płaszczyźnie wyznaczonej przez osie współrzędnych xy.
[1,1,6;6,9,9]. Punkty A, B i C znajdują się na płaszczyźnie pomiędzy osiami współrzędnych x, y, z .

Parametr 5: Formex to be mapped (obiekt do przekształcenia)

Wskazuje zdefiniowany uprzednio obiekt, który zostanie automatycznie zrzutowany na wyznaczone ściany, krawędzie lub wierzchołki.. Poprzedzony jest znakiem | - „wykonaj”.

Krok 4 przedstawia ekspozycję zdefiniowanej siatki trójkątów równoramiennych na wszystkich ścianach dwudziestościanu foremnego. Natomiast w kroku 5 uzyskano efekt ekspozycji siatki trójkątów równoramiennych na 15 ścianach dwudziestościanu foremnego.

1.2.2. FUNKCJA TRACTATION


Funkcja tractation umożliwia rzutowanie wielościanu na sferę. W celu zdefiniowania tej funkcji, w języku programowania Formian stosuje się skrót trac. Poszczególne parametry wzoru szczegółowo definiują dokonywane rzutowanie.

Parametr1: surface code –kod powierzchni

Kod powierzchni znajduje się na pozycji pierwszej w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji tractation w nawiasie okrągłym: (1). Wskazuje na jaką powierzchnię będzie rzutowany uprzednio zdefiniowany obiekt. Tabela kodów podaje 19 możliwości wyboru powierzchni. By określić surface code wybieramy tylko jedną opcję. Kod o numerze 1 określa, że będzie to sfera.

Parametr2:: surface parameters – parametry powierzchni

Parametry powierzchni znajdują się na pozycji drugiej w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji tractation w nawiasie okrągłym. Wyrażenie stosuje się do określenia koordynatów projektowanej sfery. Wzór w nawiasie kwadratowym wydzielonym przecinkami: [0,0,0,2.5]. Pierwsze trzy parametry [0,0,0,] ustalają za pomocą współrzędnych x,y,z położenie centrum sfery w przestrzeni. Ostatni parametr [2.5] określa promień sfery współśrodkowej. Do zdefiniowania promienia stosuje się liczbę dodatnią ograniczoną przecinkami.

Parametr3:: projection code – kod projekcji

Kod projekcji jest kolejnym parametrem w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji tractation w nawiasie okrągłym. Wybiera się typ projekcji a następnie wybiera się dopasowany do niego kod.

Parametr 4: selector

Selector jest ostatnim parametrem w zdefiniowanym ciągu znaków funkcji tractation w nawiasie okrągłym. Jest to parametr „łączący” węzły wieloboku z powierzchnią sferyczną.

Parametr5: formex to be projected – obiekt do przekształcenia

Wskazuje zdefiniowany uprzednio obiekt, który zostanie automatycznie zrzutowany na wyznaczony obiekt. Poprzedzony znakiem | - wykonaj.

Autorzy: Iwona Fabrowicz, Agata Pilip, Paweł Tyrała

LITERATURA

CHAMPION O.CH., Polyhedric constructions. A thesis submitted for the degree of doctor of philo-sophy, Space Structures Research Centre, University of Surrey, 1997.