Wycena instrumentów pochodnych na drzewkach trójmianowych

Abstract

Opcje znajdują się w obrocie na Giełdzie Papierów Wartościowych od września 2003 roku, uzupełniają one ofertę produktową dotyczącą instrumentów pochodnych. Ze względu na ciągły rozwój rynku instrumentów pochodnych istotny staje się problem ich wyceny. Celem referatu jest wprowadzenie do wyceny instrumentów pochodnych przy pomocy drzewek trójmianowych. Pokażemy, używając rzeczywistych danych oraz zaimplementowanych przez nas programów skuteczność takiej wyceny. W przeciwieństwie do klasycznego modelu Blacka-Scholesa umożliwia ona wycenę nietypowych opcji. Jest ona również bardziej efektywna niż w przypadku drzewek dwumianowych.

Na początku zajmiemy się omówieniem drzewek dwumianowych w celu objaśnienia mechanizmu wyceny. Następnie przedstawimy algorytm działania drzewka trójmianowego. Używając zaimplementowanych przez nas programów pokażemy zbieżność ceny opcji do ceny w klasycznym modelu Blacka Scholesa. Przedstawimy na wybranych przykładach jak wygląda drzewko trójmianowe cen akcji oraz cen opcji.
Autorzy: Maria Kudela, Iwona Ślazyk

1. REFERAT

1.1. WSTĘP

Od czasu pojawienia się handlu ludzie zainteresowani są osiąganiem jak najwię-kszych zysków. Stąd bardzo wcześnie pojawiał się instrument finansowy nazywany kontraktem terminowym. Na podstawie porozumień, umów między handlarzami a farmerami, rzemieślnikami, następowała wymiana towaru w określonym czasie. Kontraktem terminowym nazywamy umowę, w której osoba zajmująca długą pozycję zobowiązuje się do zakupienia w przyszłości określonego towaru, a osoba zajmująca krótką pozycję zobowiązuje się do sprzedania określonego w kontrakcie instrumentu bazowego po ustalonej wcześniej cenie. Naturalnym etapem rozwoju było powstanie finansowych kontraktów terminowych. Nastąpiło to jednak stosunkowo późno (zaledwie 30 lat temu) z powodów historycznych (brak stabilności gospodarki światowej).

Najpopularniejsze instrumenty bazowe to akcje, indeksy giełdowe, waluty. Kontrakty nazywa się często instrumentami pochodnymi, ich cena jest tylko niewielką częścią ceny instrumentu podstawowego. Dużym minusem kontraktów terminowych jest fakt, że żadna ze stron nie może się wycofać, pomimo że wykonanie kontraktu przynosi jej znaczne straty. Rozwiązaniem są warunkowe kontrakty terminowe, czyli opcje. Opcja jest prawem, a nie obowiązkiem. Osoba kupująca opcje sama decyduje czy chce ją wykonać czy też nie, zatem ryzyko związane ze zmianą ceny instrumentu bazowego zostaje przeniesione na sprzedającego opcję. W zamian jednak za kupno opcji nabywca płaci wystawcy tzw. premię opcyjną. Kluczowe jest zatem wyznaczenie sprawiedliwej ceny, jaką musi zapłacić kupujący opcję. Wartość opcji jest silnie związana z notowaniem przedmiotu transakcji na giełdzie, zależy też od wielu innych czynników, co sprawia, że wycena opcji staje się skomplikowanym zagadnieniem. Podobnie jak w przypadku kontraktów terminowych wyróżniamy opcje kupna i sprzedaży. Na przykład opcja kupna na akcje jest kontraktem dającym jej właścicielowi prawo do kupna ustalonej liczby akcji po określonym czasie oraz cenie.

Na rynkach finansowych występują dwa rodzaje opcji:
-opcja amerykańska-może być zrealizowana w dowolnym czasie przed terminem wygaśnięcia opcji.
-opcja europejska-może być zrealizowana jedynie w dniu, w którym przypada termin jej wygaśnięcia.

Rozważając opcje mamy do czynienia z trzema cenami:
-cena wykonania ¬ jest to cena, po jakiej opcja jest wykonana , jest ona ustalona w momencie wystawienia opcji.
-cena aktywów bazowych-cena, na którą jest wystawiona opcja.
-cena opcji (premia)-nabywca opcji płaci sprzedawcy cenę zakupu, nie jest ona zwracana nawet, gdy opcja nie zostanie wykonana.

Najbardziej znanym modelem wyceny opcji jest model Blacka-Scholesa. Jest on często używany, ponieważ otrzymujemy w nim analityczny wzór na cenę opcji europejskiej. Jest to matematyczny model rynku, który opisuje jak zachowują się ceny instrumentów finansowych w zależności od czasu. W metodzie Blacka-Scholesa poczynione są założenia, które w przypadku opcji innych niż europejska powodują zawyżenie bądź zaniżenie ceny. Nie można go zatem używać w procesie wyceny innych rodzajów opcji, na przykład do wyceny instrumentów egzotycznych. Dlatego poszukuje się innych metod wyceny,jak np. drzewka. Ceny opcji europejskiej odczytane z drzewka pokrywają sie z ceną wyliczoną za pomocą wzoru Blacka–Scholesa, a dodatkowo mają zastosowanie przy wycenie innych opcji. Alternatywną metodą wyceny opcji jest więc metoda na drzewkach dwumianowych. Chcemy pokazać, że metoda ta, choć przybliża cenę bardzo dobrze, ma wiele wad i jest mniej efektywna od wyceny za pomocą drzewek trójmianowych.

1.2. DRZEWKA DWUMIANOWE

Proces ceny akcji jest dobrze określany przez ruch Browna, gdyż ceny akcji mają charakter losowy. Naturalną dyskretyzacją ruchu Browna jest drzewko dwumianowe, w którym cena ma możliwe dwie drogi albo rośnie albo maleje.

Wprowadźmy oznaczenia. Niech T oznacza termin wygaśnięcia opcji, n - ilość kroków w drzewku, σ - zmienność cen, δt- długość trwania okresu, zdefiniwaną jako:


Konstruując drzewko dzielimy odcinek czasu T na części n. Otrzymujemy w ten sposób n okresów długości δt. Omówimy metodę konstrukcji drzewka CRR. Cena akcji rośnie z prawdopodobieństwem p i maleje z prawdopodobieństwem 1-p, odchylenie ceny jest zdeterminowane zmiennością.

W następnym kroku obliczamy współczynniki u oraz d, które posłużą do wyliczenia cen akcji (przypadek Coxa Rossa Rubinsteina):


Ceny w kolejnym wierzchołku drzewka obliczamy według wzoru: jeśli cena akcji rośnie, jeśli cena akcji maleje. W n-tym kroku otrzymujemy oraz . W przypadku innych metod postępujemy podobnie. Na przykład w metoda JarowRud zakładamy , że prawdopodobieństwa są równe 0.5 . Cena w następnym kroku wynosi :


w przypadku gdy cena rośnie,


w przypadku gdy cena maleje.

Mając wypełnione wszystkie węzły drzewka ceny akcji przystępujemy do wyceny opcji. Dla każdego ostatniego węzła (czyli momentu wykonania opcji) w drzewku cen akcji musimy teraz wyliczyć funkcję wypłaty. Funkcja wypłaty mówi nam, jaką sumę otrzymuje nabywca opcji w chwili jej wykonania. W przypadku europejskiej opcji kupna wynosi S_t-K. Korzystając z funkcji wypłaty dla ostatniego węzła możemy wypełnić ostatnią kolumnę drzewka cen opcji. Następnie obliczamy wartość prawdopodobieństwa arbitrażowego, czyli takiego, które wyklucza możliwość wzbogacenia się bez ponoszenia ryzyka. Dzięki takiemu podejściu otrzymujemy „sprawiedliwy” model rynku. Prawdopodobieństwo to obliczamy ze wzoru:


gdzie oraz są cenami akcji w następnym kroku. Następnie używając wzoru na wartość instrumentu pochodnego:


przechodząc rekurencyjnie do początku drzewka , czyli pierwszego elementu, wyceniamy opcję. Rysunek poniżej ukazuje podstawową strukturę drzewka dwumianowego:



1.3. DRZEWKA TRóJMIANOWE

Drzewka dwumianowe dobrze wyceniają opcje, ale problem pojawia się gdy mamy dużo kroków na drzewku. Metoda jest wtedy mało efektywna, ponieważ drzewka za szybko osiągają duże rozmiary. Alternatywą są drzewka trójmianowe, których rozmiar jest o wiele mniejszy, gdyż jeden krok w drzewku trójmianowym jest kombinacją dwóch kroków drzewka dwumianowego.

W jednym węźle drzewka trójmianowego cena akcji może wzrąsnąć, pozostać na tym samym poziomie lub zmaleć. Jest to bardziej zgodne z obserwacjami rynków finansowych niż w przypadku drzewek dwumianowych, ponieważ cena akcji może pozostać stała przez pewien okres czasu. Załóżmy, że startujemy z wierzchołka w punkcie z ceną natychmiastową (ceną spotową) . Cena może wzrosnąć, tzn. , zmaleć i wynosić lub pozostać na tym samym poziomie: . Współczynniki u oraz d , jak również dobór prawdopodobieństwa zależą od wybranej metody. Prawdopodobieństwo ruchu w górę wynosi p^2, w dół (1-p)^2, a prawdopodobieństwo, że pozostanie na tym samym poziomie wynosi . Wyceniając opcję postępujemy analogicznie, jak przy drzewkach dwumianowych, jedynie wzór (4) zostaje zastąpiony przez:


Na rysunku 2 zilustrowany został sposób postępowania w metodzie drzewek trójmianowych.



1.4. RZECZYWISTA TRAJEKTORIA CENY A DRZEWKO TRóJMIANOWE

W ostatnim etapie naszej pracy zastosujemy drzewka trójmianowe do symulacji opartych na danych rzeczywistych. Używając jedynie ceny startowej, stopy procentowej i zmienności zbudujemy drzewko trójmianowe, z którego odczytamy możliwe, przybliżone trajektorie ceny akcji, spróbujemy wśród nich odnaleźć rzeczywistą trajektorię. W tym celu ustalamy odcinek czasu T oraz z historycznych danych odczytujemy cenę spotową akcji. Dla konkretnej opcji z ceną wykonania K, ceną C, przyjmując stopę procentową r, potrafimy korzystając ze wzoru Blacka Scholesa jednoznacznie wyliczyć zmienność, która będzie nam potrzebna do konstrukcji drzewka. Tak otrzymaną zmienność nazywamy zmiennością implikowaną. Stosując wyżej opisany algorytm, dostajemy strukturę drzewka (czyli możliwe trajektorie ceny akcji).

Autorzy: Maria Kudela, Iwona Ślazyk

LITERATURA

[1] HULL J., Kontrakty terminowe i opcje- wprowadzenie, Warszawa, WIG PRESS , 1997. [2] WERON A., WERON R., Inżynieria finansowa, Warszawa, Wydawnictwo naukowo-techniczne, 1999.
[4] http://www.im.pwr.wroc.pl/~rweron/prace/Uniejewski04.pdf , 24 marzec 2008