Wycena opcji amerykańskich metodą Monte Carlo

Abstract

Wycena i optymalne wykonanie amerykańskich opcji jest jednym z najważniejszych, a zarazem najtrudniejszych problemów w teorii opcjonalnej wyceny.[3] Instrumenty te znajdują się w użyciu na wszystkich głównych rynkach finansowych. Powszechnie używane metody różnicowe oraz techniki dwumianowe stały się niepraktyczne w przypadku modeli zależnych od wielu czynników. Ponieważ ciągłe zapotrzebowanie na efektywne metody wyceny rośnie proporcjonalnie do rozwijającego się rynku opcji, więc w ostatnich latach niezwykle atrakcyjna stała się metoda Monte Carlo, której główną zaletą jest prostota i elastyczność. Co więcej standardowy błąd estymacji maleje wraz ze wzrostem liczby symulacji, a co za tym idzie szybkość metody nie zależy od wymiaru rozważanego problemu. Napisany przez nas program w sposób prosty, ale zarazem bardzo skuteczny przybliża wartości amerykańskich opcji poprzez symulację.
Autorzy: Agnieszka FASSA, Kamil JODŹ

1. WSTĘP

1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE

Opcje są instrumentami finansowymi, które dają prawo, ale nie obowiązek, do zawarcia w przyszłości transakcji po z góry ustalonej cenie: opcja kupna (call option) daje nabywcy prawo do kupna ustalonej ilości instrumentu podstawowego po określonej cenie wykonania, natomiast opcja sprzedaży (put option) do sprzedaży tego instrumentu. W przeciwieństwie do nabywcy, sprzedający opcję ma obowiązek do sprzedania lub zakupu danego dobra, jeśli nabywca uzna, iż wykonanie opcji jest opłacalne i zechce skorzystać ze swojego prawa. Podstawą decyzji o wykonaniu opcji jest porównanie ceny wykonania z bieżącą ceną instrumentu podstawowego.[3]

1.2. PODZIAŁ OPCJI

Opcje można podzielić ze względu na typ oraz na styl opcji. Podstawowy podział jest następujący: opcje na rynku regulowanym (standaryzowane kontrakty, ustalane przez izbę rozrachunkową): opcje na akcje, opcje na towary, opcje na obligacje, opcje na indeksy, opcje na kontrakty futures; opcje na rynku nieregulowanym – OTC (warunki są nieograniczone i mogą być dopasowywane do indywidualnych potrzeb biznesowych): opcje na stopę procentową, opcje na waluty, opcje na swapy.

Podział opcji ze względu na styl: opcje europejskie (które mogą być wykonane jedynie w momencie wygaśnięcia); opcje amerykańskie (które mogą być wykonane w dowolnym dniu od momentu nabycia do terminu wygaśnięcia); opcje bermudzkie; opcje barierowe.[4]

1.3. CENA OPCJI

Najważniejszy wpływ na cenę opcji ma funkcja wypłaty, określająca wielkość wypłaty, jaką otrzyma nabywca opcji w momencie jej wykonania. Funkcja ta dla opcji standardowych przedstawia się następująco:



gdzie K jest ceną wykonania, T – terminem wygaśnięcia, St – ceną instrumentu podstawowego w chwili .[3] Opcja europejska może być wykonana jedynie w momencie wygaśnięcia T, natomiast opcja amerykańska w dowolnym czasie .