Wycena opcji amerykańskich metodą Monte Carlo cd.

3. OPIS PROGRAMU NA PODSTAWIE PRZYKŁADU NUMERYCZNEGO

Program, który napisaliśmy można zastosować zarówno do opcji sprzedaży jak i kupna. Uruchamiając go wybieramy, jaką opcję chcemy wycenić. Dowolności podlega również wybór ceny początkowej, ceny wykonania, ilość trajektorii, ilość okresów czasowych, stopa procentowa, a także zmienność. Aby dokładnie przedstawić jego działanie, przytoczyliśmy konkretny przykład.

Rozważmy amerykańską opcję sprzedaży na akcje niewypłacające dywidendy w okresie życia opcji. Cena początkowa opcji to 100, natomiast jest ona możliwa do wykonania po cenie 110 w czasie 1,2 i 3, gdzie czas trzeci jest datą wygaśnięcia opcji. Trajektorie generujemy przy pomocy wyżej opisanego schematu Eulera. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%, a zmienność przyjmujemy 0.3. Ceny kreują się następująco:


Naszym zadaniem jest znalezienie reguły stopu (czyli optymalnego momentu wykonania opcji). Z powyższej tabeli widać, iż opcja jest w cenie w czasie t=3 dla trajektorii o indeksach: 1,2,4 oraz 5. Przepływy gotówki w czasie t=3 dla trajektorii 1 wynosi 31.8420, dla trajektorii 2 - 11.3699, dla trajektorii 4 – 37.0938, dla trajektorii 5 – 14.7105. Jeśli opcja jest w cenie w czasie t=2 posiadacz opcji musi zdecydować, czy wykonać ją, czy kontynuować jej życie do terminu wygaśnięcia t=3. Z macierzy cen akcji odczytujemy, iż są dwie trajektorie (2 i 5), gdzie opcja znajduje się w cenie w czasie t=2. Jeżeli przez X oznaczymy cenę akcji w czasie t=2 dla tych trajektorii, a przez Y odpowiednie zdyskontowane przepływy gotówki, otrzymane w czasie t=3, jeśli opcja nie została wykonana w czasie t=2, to wektory te będą następującej postaci:



Aby estymować oczekiwany przepływ gotówki z kontynuacji korzystamy z wielomianów trygonometrycznych i znajdujemy wielomian regresyjny (przy użyciu funkcji regress programu Matlab). Rezultatem tego jest funkcja warunkowej wartości oczekiwanej postaci:


Z wartością tej funkcji porównujemy wartość z niezwłocznego wykonania:



Porównanie to ilustruje, iż wykonanie opcji w czasie t=2 jest optymalne w przypadku obydwu trajektorii, ponieważ wartości z kontynuacji są mniejsze. Następnie postępujemy rekursywnie i sprawdzamy, czy opcja powinna zostać wykonana w czasie t=1. Z tabeli cen akcji odczytujemy, iż opcja w czasie t=1 jest w cenie dla trajektorii 1,2 i 5. Ponownie definiujemy X (cena akcji w t=1) oraz Y (zdyskontowane przepływy gotówki, otrzymane w t=2):, a następnie znajdujemy wielomian regresyjny i estymowana funkcja warunkowej wartości oczekiwanej przybiera postać:


Ponownie porównujemy tę wartość z wartością z niezwłocznego wykonania:



Wykonanie opcji w czasie t=1 jest optymalne dla trajektorii 5, ponieważ wartość z kontynuacji w tym przypadku jest niższa. Zatem reguła stopu jest następującej postaci:



Mając zidentyfikowane przepływy gotówkowe wygenerowane przez amerykańską opcję sprzedaży w każdym czasie, wzdłuż każdej trajektorii, opcja może być wyceniana przez dyskontowanie każdego przepływu gotówki z macierzy przepływów podążając do zera, a następnie uśredniana ze wszystkich trajektorii. W naszym przykładzie wygląda to następująco:



Ostateczna cena w tym przypadku nie jest dokładna, ponieważ dla zilustrowania algorytmu użyliśmy małej liczby trajektorii, a pamiętajmy, że im większa ich liczba, tym mniejszy standardowy błąd estymacji.

Autorzy: Agnieszka FASSA, Kamil JODŹ

LITERATURA

[1] LONGSTAFF F. A., SCHWARZ E.S., Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach, The Review of Financial Studies, Spring 2001, 113-124;
[2] TIAN T., BURRAGE K., Accuracy issues of Monte-Carlo methods for valuing American option, Department of Mathematics, The University of Queensland, 1 April 2003, 739-747;
[3] WERON A., WERON R., Inżynieria Finansowa, Warszawa, 4 listopada 1998;
[4] http://en.wikipedia.org, 17 marca 2008.